Matematicas 4to periodo

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

i) F es continua en [a, b]

ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área T_c.

Si calculamos la derivada de esa función:

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss

Matematicas 4to periodo

SUMATORIA

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ejemplos de sumatorias: https://es.slideshare.net/donializ/sumatorias-i

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=0q0xnJizf8A

Matematicas 4to periodo

INTEGRAL INDEFINIDA

Definición:

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integrales trigonométricas

Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, para este caso hay una cambio siempre válido, es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales.

Hay diversas formulas para aplicar cuando se habla de integrales trigonometricas

Ejemplos:

1)

2)

Integrales exponenciales y logarítmicas

Para estas integrales aplicamos distintas formulas como por ejemplo:

logarítmica:

Exponencial:

 Ejemplos:

Video explicación: https://www.youtube.com/watch?v=FUZzUalCxlo

Matematicas 4to periodo

Área Bajo una Curva

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=yc4ERt8aiQA

Matematicas 2do periodo

DERIVADAS

La derivada de una funcion f en el punto de la abscisa x=a, se define como el siguiente limite, si existe: 

Ejemplo:

Determinar la función derivada de f(x) = x² − x + 1.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Ello nos permite usar la siguiente fórmula para calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x = a :

Ejemplo:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)= r2+2r-1 en el punto r=2

La fórmula es :

Por tanto la ecuación es:

Video derivada de funciones: https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo

Matematicas 2do periodo

LIMITES

Limite de sucesiones:

Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando ${\displaystyle n}$ toma valores muy grandes. Se representa mediante ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$, y se lee límite cuando ${\displaystyle n}$ tiende a más infinito de ${\displaystyle a}$ sub ${\displaystyle n}$.

Ejemplos:

• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.

Limites laterales:

En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos a, extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.

Video explicación limites: https://www.youtube.com/watch?v=n33Euc6r0js

Matematicas 2do periodo

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

EJEMPLO:

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.  En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto, g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5. Propiedades de la composición ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que  ho(gof) = (hog)of. CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa,  es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas. En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo,  (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13,  luego las funciones gof y fog son distintas. FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real  con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición  de funciones. Video de explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=36glvhtn4Kg