Matematicas 4to periodo

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann.

Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces:

i) F es continua en [a, b]

ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área T_c.

Si calculamos la derivada de esa función:

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss

Matematicas 4to periodo

SUMATORIA

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ejemplos de sumatorias: https://es.slideshare.net/donializ/sumatorias-i

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=0q0xnJizf8A

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INTEGRAL INDEFINIDA

Definición:

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integrales trigonométricas

Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, para este caso hay una cambio siempre válido, es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales.

Hay diversas formulas para aplicar cuando se habla de integrales trigonometricas

Ejemplos:

1)

2)

Integrales exponenciales y logarítmicas

Para estas integrales aplicamos distintas formulas como por ejemplo:

logarítmica:

Exponencial:

 Ejemplos:

Video explicación: https://www.youtube.com/watch?v=FUZzUalCxlo

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Área Bajo una Curva

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Video explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=yc4ERt8aiQA

Matematicas 2do periodo

DERIVADAS

La derivada de una funcion f en el punto de la abscisa x=a, se define como el siguiente limite, si existe: 

Ejemplo:

Determinar la función derivada de f(x) = x² − x + 1.

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Ello nos permite usar la siguiente fórmula para calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x = a :

Ejemplo:

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)= r2+2r-1 en el punto r=2

La fórmula es :

Por tanto la ecuación es:

Video derivada de funciones: https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo

Matematicas 2do periodo

LIMITES

Limite de sucesiones:

Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando ${\displaystyle n}$ toma valores muy grandes. Se representa mediante ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$, y se lee límite cuando ${\displaystyle n}$ tiende a más infinito de ${\displaystyle a}$ sub ${\displaystyle n}$.

Ejemplos:

• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.

Limites laterales:

En algunas funciones como las definidas por partes y las de dominio restringido, como las que tienen raíces cuadradas, se aplican los límites laterales. Por ejemplo, en las funciones con radicales con índice par no tiene sentido hablar del límite en puntos a, extremos de los intervalos que conforman el dominio, pero los valores de la función se pueden acercar a un número cuando la variable se acerca por la derecha o por la izquierda al punto en cuestión. En las funciones definidas por intervalos servirán para establecer si la función tiene límite en los puntos donde la función cambia de fórmula y en caso que tenga límite en algún punto, determinar su valor.

Video explicación limites: https://www.youtube.com/watch?v=n33Euc6r0js

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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

EJEMPLO:

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = 3x - 2 y g(x) = 2x + 5; entonces la función compuesta de f con g es (gof)(x) = g[f(x)] = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5 = 6x - 4 + 5 = 6x + 1.  En el razonamiento anterior se ha tenido en cuenta que si g(x) = 2x + 5, y por lo tanto, g(3x - 2) = 2(3x - 2) + 5. Propiedades de la composición ASOCIATIVA: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que  ho(gof) = (hog)of. CONMUTATIVA: La composición de funciones en general no es conmutativa,  es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas. En el ejemplo anterior (gof)(x) =6x + 1, sin embargo,  (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x + 5) = 3(2x + 5) - 2 = 6x + 15 - 2 = 6x + 13,  luego las funciones gof y fog son distintas. FUNCIÓN IDENTIDAD: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real  con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición  de funciones. Video de explicacion: https://www.youtube.com/watch?v=36glvhtn4Kg

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FUNCIONES REALES

las funciones reales se pueden clasificar de acuerdo a su estructura en tres grupos:

FUNCIÓN LINEAL:

Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La gráfica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:   

         

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La gráfica que se origina es una línea recta paralela al eje x.

El dominio de la función constante son todos los números reales  y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

       FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax²+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La gráfica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la gráfica abre hacia arriba y si a es negativa la gráfica abre hacia abajo.

La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO: 

    FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a donde a_n,a_n-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que a_n≠0.

Ejemplo: 

FUNCIONES ESPECIALES


FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es  una curva en forma de v. 

EJEMPLO: 

      FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función de la forma f(x) = a^x, donde a>o y a≠1 .cuyo  dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La gráfica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 y descendente si  o<a<1.

Ejemplos:

       FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma 
f(x) = log_ax, donde a>o y a≠1. La gráfica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

Ejemplos:

Video sobre funciones: https://www.youtube.com/watch?v=R38_FohTJPc

pd: las imagenes no pueden ser vistas ya que tienen inicio https

     

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Recuperacion matematicas 2do periodo

Sucesiones:

Una sucesión(o progresión) es una lista de números en un orden específico. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo: en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión. Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4, ….., n, ….} de todos los números enteros positivos. Los números del contradominio de na función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

SUCESIONES ARITMETICAS:

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.

SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Video instructivo:  https://www.youtube.com/watch?v=ZlJJEIMKKKY